Динамика материальной точки криволинейное движение. Скорость и ускорение при криволинейном движении Динамика криволинейного движения материальной точки

Рассматривая криволинейное движение тела, мы увидим, что его скорость в разные моменты различна. Даже в том случае, когда модуль скорости не меняется, все же имеет место изменение направления скорости. В общем случае меняются и модуль и направление скорости.

Таким образом, при криволинейном движении скорость непрерывно изменяется, так что это движение происходит с ускорением. Для определения этого ускорения (по модулю и направлению) требуется найти изменение скорости как вектора, т. е. найти приращение модуля скорости и изменение ее направления.

Рис. 49. Изменение скорости при криволинейном движении

Пусть, например, точка, двигаясь криволинейно (рис. 49), имела в некоторый момент скорость а через малый промежуток времени - скорость . Приращение скорости есть разность между векторами и . Так как эти векторы имеют различное направление, то нужно взять их векторную разность. Приращение скорости выразится вектором , изображаемым стороной параллелограмма с диагональю и другой стороной . Ускорением называется отношение приращения скорости к промежутку времени , за который это приращение произошло. Значит, ускорение

По направлению совпадает с вектором .

Выбирая достаточно малым, придем к понятию мгновенного ускорения (ср. § 16); при произвольном вектор будет представлять среднее ускорение за промежуток времени .

Направление ускорения при криволинейном движении не совпадает с направлением скорости, в то время как для прямолинейного движения эти направления совпадают (или противоположны). Чтобы найти направление ускорения при криволинейном движении, достаточно сопоставить направления скоростей в двух близких точках траектории. Так как скорости направлены по касательным к траектории, то по виду самой траектории можно сделать заключение, в какую сторону от траектории направлено ускорение. Действительно, так как разность скоростей в двух близких точках траектории всегда направлена в ту сторону, куда искривляется траектория, то, значит, и ускорение всегда направлено в сторону вогнутости траектории. Например, когда шарик катится по изогнутому желобу (рис. 50), его ускорение на участках и направлено так, как показывают стрелки, причем это не зависит от того, катится шарик от к или в обратном направлении.

Рис. 50. Ускорения при криволинейном движении всегда направлены в сторону вогнутости траектории

Рис. 51. К выводу формулы для центростремительного ускорения

Рассмотрим равномерное движение точки по криволинейной траектории. Мы уже знаем, что это - ускоренное движение. Найдем ускорение. Для этого достаточно рассмотреть ускорение для частного случая равномерного движения по окружности. Возьмем два близких положения и движущейся точки, разделенных малым промежутком времени (рис. 51, а). Скорости движущейся точки в и равны по модулю, но различны по направлению. Найдем разность этих скоростей, пользуясь правилом треугольника (рис. 51, б). Треугольники и подобны, как равнобедренные треугольники с равными углами при вершине. Длину стороны , изображающей приращение скорости за промежуток времени , можно положить равной , где - модуль искомого ускорения. Сходственная ей сторона есть хорда дуги ; вследствие малости дуги длина ее хорды может быть приближенно принята равной длине дуги, т.е. . Далее, ; , где - радиус траектории. Из подобия треугольников следует, что отношения сходственных сторон в них равны:

откуда находим модуль искомого ускорения:

Направление ускорения перпендикулярно к хорде . Для достаточно малых промежутков времени можно считать, что касательная к дуге практически совпадает с ее хордой. Значит, ускорение можно считать направленным перпендикулярно (нормально) к касательной к траектории, т. е. по радиусу к центру окружности. Поэтому такое ускорение называют нормальным или центростремительным ускорением.

Если траектория - не окружность, а произвольная кривая линия, то в формуле (27.1) следует взять радиус окружности, ближе всего подходящей к кривой в данной точке. Направление нормального ускорения и в этом случае будет перпендикулярно к касательной к траектории в данной точке. Если при криволинейном движении ускорение постоянно по модулю и направлению, его можно найти как отношение приращения скорости к промежутку времени, за который это приращение произошло, каков бы ни был этот промежуток времени. Значит, в этом случае ускорение можно найти по формуле

аналогичной формуле (17.1) для прямолинейного движения с постоянным ускорением. Здесь - скорость тела в начальный момент, a - скорость в момент времени .

Для описания движения в механике используются математические модели: материальная точка и абсолютно твердое тело.

Материальной точкой называется обладающее массой тело, размерами которого можно пренебречь в условиях данной задачи (размеры тела минимум в 10 раз меньше расстояния, которое проходит тело). Например, при вычислении траектории, по которой Земля движется вокруг Солнца, Землю можно рассматривать как материальную точку, так как ее радиус в 24 000 раз меньше радиуса ее орбиты. При рассмотрении движения тел по поверхности Земли она должна рассматриваться как протяженный объект.

Любое тело можно рассматривать как систему материальных точек.

Если деформация тела при его взаимодействии с другими телами в рассматриваемом процессе пренебрежимо мала, то можно пользоваться моделью абсолютно твердого тела.

Абсолютно твердым телом называется тело, расстояние между двумя точками которого в условиях данной задачи можно считать постоянным, т.е. это тело, форма и размеры которого не изменяются при его движении.

Тела могут двигаться поступательно и вращательно. Рассмотрим поступательное движение.

Поступательным движением называется такое движение, при котором любая прямая, проведенная в теле, остается параллельной самой себе. При поступательном движении все точки тела движутся одинаковым образом. Поэтому достаточно рассмотреть движение одной точки тела, например, центра тяжести, чтобы говорить о движении тела в целом.

Для определения положения тела в пространстве нужно использовать систему отсчета. Системой отсчета называется совокупность системы координат и часов, связанных с телом отсчета, по отношению к которому изучается движение.

Существует два способа описания движения тела (точки): векторный способ и координатный.

1) векторный - задается радиус-вектор . Радиус-вектором называется вектор, проведенный из начала координат в данную точку;

2) координатный - задаются три координаты - x,y,z (рис. 1.1).

Если i, j, k – единичные векторы прямоугольной декартовой системы координат, то радиус-вектор запишется следующим образом:

r = xi + yj + zk .

При движении материальной точки М ее координаты x, y, z и r меняются со временем. Поэтому для задания закона движения необходимо знать либо уравнения зависимости координат точки от времени:

x = x(t) y = y(t) z = z(t) либо уравнение r = r (t).

Эти уравнения называются кинематическими уравнениями движения материальной точки.

Исключив из уравнения время, получим уравнение траектории.

Траекторией называется линия, которую описывает в пространстве сама точка при ее движении. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное и криволинейное движение. Если все участки траектории лежат в одной плоскости, то движение называется плоским .

Длиной пути S материальной точки называют сумму длин всех участков траектории, пройденных точкой за рассматриваемый промежуток времени.

z s ∆r r 0 r y x рис. 1.2

Перемещением ∆r материальной точки называется вектор, проведенный из начального положения точки в конечное (рис.1.2):

∆r = r – r 0

При прямолинейном движении вектор перемещения совпадает с соответствующим участком траектории. Так как перемещение – вектор, то имеет место закон независимости движений:

Если точка одновременно участвует в нескольких движениях, то результирующее перемещение точки равно векторной сумме перемещений, совершаемых точкой за одно и тоже время в каждом из движений отдельно.

Полное описание движения материальной точки с помощью только вектора перемещения невозможно. Необходимо знать быстроту изменения перемещения.

Пусть материальная точка движется по криволинейной траектории. Вектор перемещения представляет собой приращение радиуса-вектора за время Δt:

Величину, характеризующую быстроту изменения положения точки, определяют отношением: , где – средняя скорость движения. Вектор совпадает по направлению с . Если в выражении для средней скорости перейти к пределу при ∆t → 0, то получим выражение мгновенной скорости , т.е. скорости в данный момент времени:

Это значит, что в данный момент времени равен производной и направлен по касательной к траектории в данной точке (как и ) в сторону движения точки.

Из математики известно, что модуль малого приращения равен длине ds соответствующей ему дуги траектории, т.е.

Из последнего следует понятие путевой скорости:

Для нахождения пути, пройденного телом за промежуток времени Δt, надо найти интеграл:

Поскольку мгновенная скорость – векторная величина, то ее можно разложить на три составляющие по осям координат:

v = v x i + v y j + v z k .

Используя выражение для мгновенной скорости, получим:

Отсюда проекции вектора скорости на оси координат:

Рассмотрим некоторые частные случаи:

1. Скорость материальной точки не зависит от времени (равномерное движение). Для определения перемещения используется уравнение:

для определения пути

2. Скорость материальной точки является функцией времени (неравномерное движение).

для пути аналогично.

Скорость механического движения в большинстве случаев не остается постоянной, а меняется со временем либо по величине, либо по направлению, либо по величине и направлению одновременно.

Пусть тело двигалось из точки А в точку В. Перенеся вектор в точку А находим приращение скорости :

– среднее ускорение - вектор, равный производной от вектора скорости по времени и совпадающий по направлению с вектором изменения скорости ∆v за малый интервал времени ∆t.

Используя предыдущие рассуждения, получим:

– мгновенное ускорение.

Ускорение – физическая величина характеризующая быстроту изменения скорости.

Так как ускорение – это вектор, то: a = a x i + a y j + a z k

Легко показать, что:

а для модуля вектора ускорения получим:

Криволинейное движение .

В общем случае криволинейного неравномерного движения скорость изменяется как по величине, так и по направлению. Полное ускорение, которым обладает движущаяся точка, определяет оба вида изменения скорости. Для рассмотрения движения удобно использовать скользящую систему координат – систему, которая изменяет свое положение в пространстве вместе с движением материальной точки. За начало отсчета принимают саму движущуюся точку. Одна ось направлена по касательной к траектории движения материальной точки в данный момент времени (тангенциальная ось τ ), другая направлена перпендикулярно (нормальная ось n ). Рассмотрим движение материальной точки по криволинейной плоской траектории.

М τ 1 v 1

n 1 N

n 2 τ 2

v 2

Вектор скорости направлен всегда по касательной к траектории. В скользящей системе координат скорость материальной точки можно представить как v = vτ

Учитывая, что, имеем

Таким образом, ускорение материальной точки представляет собой сумму двух векторов, первый их которых показывает быстроту изменения модуля скорости (тангенциальное ускорение), второй – быстроту изменения направления скорости (нормальное ускорение):

Нормальное ускорение направлено перпендикулярно тангенциальной оси и направлено по нормальной оси скользящей системы координат.

Для определения физического смысла нормального ускорения рассматривают равномерное движение точки по окружности, из которого следует, что

В некоторых задачах используется понятие "плавучесть", означающее разность между подъемной силой Архимеда и силой тяжести. Звездочкой помечены задачи повышенной сложности (варианты 116–123).

Задача 91. Подводная лодка, не имевшая хода, получив небольшую плавучесть р = 0.01mg м. Т = 0.01mg . Силу сопротивления принять пропорциональной первой степени скорости V и равной R = –0.1mV .Определить траекторию лодки и расстояние, пройденное ею по горизонтали к моменту всплытия.

Задача 92. Определить закон движения x (t ), y (t ) тяжелой материальной точки M массы m = 5 кг O силой, прямо пропорциональной расстоянию до него. Движение происходит в пустоте, сила притяжения, k = 20 с –1 g = 9.8 м/с , v x 0 = 200 м/с , . Ось Ox горизонтальна, а ось Oy

Задача 93. Подводная лодка, не имевшая хода, находилась в надводном положении на расстоянии м от дна. Получив отрицательную плавучесть р = 0.1mg , она начинает уходить от преследования на очень тихом ходу, который обеспечивается малой постоянной горизонтальной силой тяги двигателя T = 0.001mg . Горизонтальной компонентой силы сопротивления можно пренебречь, а ее вертикальную составляющую принять равной R = –0.05mgV , где – вертикальная скорость погружения лодки. Определить закон движения лодки и расстояние, пройденное ею по горизонтали к моменту, когда она ляжет на дно.

Задача 94. Точка M массы m = 5 кг O k = 20 c –1 , r – радиус-вектор точки. В начальный момент точка M имела координаты M 0 (a ,0), a = 24 м , и скорость v 0 с проекциями v x 0 = 0, v y 0 = 4 м/с . Определить закон движения и траекторию точки M

Задача 95. р = 0.001mg , начинает подниматься с глубины м. При этом начавший работать двигатель обеспечивает постоянную горизонтальную силу тяги. Вертикальной компонентой силы сопротивления можно пренебречь, а ее горизонтальную составляющую принять равной, где – горизонтальная скорость лодки. Определить траекторию движения лодки и расстояние, пройденное ею по горизонтали к моменту всплытия.

Задача 96. Подводная лодка, двигавшаяся в надводном положении c малой скоростью U 0 = 0.5 м/с р = 0.5mg , начала срочное погружение с выключенными двигателями. Горизонтальной компонентой силы сопротивления можно пренебречь, а ее вертикальную составляющую принять равной, где – вертикальная скорость погружения лодки. Определить закон движения лодки и расстояние, пройденное ею по горизонтали к моменту, когда она погрузится на глубину м.

Задача 97. Телу M массы m = 8 кг , принимаемому за материальную точку и находящемуся на гладкой наклонной плоскости с углом наклона к горизонту = 30° (рис. 19), сообщена начальная скоростьv 0 = 18 м/с , направленная под углом = 45° к оси x и лежащая в плоскости ху . Ось y g = 9.8 м/с x (t ), y (t ).

Рис.19

Задача 98. Подводная лодка, двигавшаяся в надводном положении со скоростью U 0 = 0.5 м/с , получив отрицательную плавучесть р = 0.1mg , начала погружение с выключенными двигателями. Силу сопротивления принять пропорциональной первой степени скорости V и равной.Определить траекторию движения лодки и расстояние, пройденное ею по горизонтали к моменту, когда она погрузится на глубину м.

Задача 99. Наибольшая горизонтальная дальность полета снаряда м достигается при угле бросания по отношению к горизонту. Определить, чему равны начальная скорость снаряда v 0 и. Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с Начальная скорость снаряда v 0 при вылете из канала ствола орудия фиксирована.

Задача 100. Береговое орудие, расположенное на высоте м над уровнем моря, стреляет снарядами, имеющими при вылете из ствола скорость U 0 = 1500 м/с . Определить дальность поражения цели при горизонтальном выстреле и закон движения снаряда x (t ), y (t ), если вертикальной компонентой силы сопротивления можно пренебречь, а ее горизонтальную составляющую принять равной, где – горизонтальная скорость снаряда.

Задача 101. Определить закон движения x (t ), y (t ) материальной точки M массы m = 8 кг , притягиваемой к неподвижному центру O k = 12 c –1 . В начальный момент времени () х 0 = 18 м , v y 0 = 6 м/с . Силой тяжести Земли пренебречь.

Задача 102. Материальная точка массы m Oxy . Модуль силы изменяется по закону. Начальная скорость м/с направлена под углом () к линии действия силы. Получить уравнение траектории точки y (x ).

Задача 103. Точка M массы m = 8 кг движется под действием силы отталкивания от неподвижного центра O , изменяющейся по закону, где k = 12 c –1 , r g = 9.8 м/с 2 . В начальный момент времени () х 0 = 20 м , v y 0 = 50 м/с . Ось Ox горизонтальна, а ось Oy x (t ), y (t ) и траекторию y (x ) точки M .

Задача 104. Материальная точка массы m движется по гладкой горизонтальной плоскости Oxy под действием силы, направленной параллельно оси у (см. рис. 19). Модуль силы изменяется по закону. Начальная скорость м/с направлена перпендикулярно к линии действия силы. Найти закон движения x (t ), y (t ) и уравнение траектории точки y = y (x ).

Задача 105. Телу M массы m = 20 кг , принимаемому за материальную точку и находящемуся на гладкой наклонной плоскости с углом наклона к горизонту = 60° (см. рис. 19), сообщена начальная скорость v 0 = 2 м/с x и лежащая в плоскости ху . Ось y горизонтальна. Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с 2 . Определить закон движения тела по наклонной плоскости x (t ), y (t ).

Задача 106. При угле бросания = 60° по отношению к горизонту снаряд имеет горизонтальную дальность полета м . Определить, чему при этом равна начальная скорость снаряда v 0 . Найти также горизонтальную дальность и максимальную высоту траектории при угле бросания 30°. Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с

Задача 107. Определить закон движения x (t ), y (t ) тяжелой материальной точки M массы m = 6 кг , притягиваемой к неподвижному центру O силой, прямо пропорциональной расстоянию до него. Движение происходит в пустоте, сила притяжения равна, k = 8 c g = 9.8 м/с 2 . В начальный момент времени () х 0 = 24 м , у 0 = 40 м , . ОсьOx горизонтальна, а ось Oy направлена по вертикали вверх.

Задача 108. Точка M массы m = 4 кг движется под действием силы отталкивания от неподвижного центра O , изменяющейся по закону, где k = 10 c –1 , r – радиус-вектор точки. Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с 2 . В начальный момент времени () х 0 = 2 м , v х 0 = 4 м/с , . Ось Ox горизонтальна, а ось Oy направлена по вертикали вверх. Определить закон движения x (t ), y (t ) и траекторию y (x ) точки M .

Задача 109. Парашютист массы падает с раскрытым парашютом на Землю в спокойном воздухе вертикально с установившейся постоянной скоростью м/с . На высоте м над поверхностью Земли он, натянув стропы, приобретает горизонтальную скорость м/с . Определить величину горизонтального отклонения парашютиста от первоначального направления его движения в момент приземления и закон его движения, если при дальнейшем спуске он удерживает стропы в том же положении. Горизонтальная компонента силы сопротивления, действующая на парашютиста в воздушном потоке, R x = –0.01mV x , где – горизонтальная скорость парашютиста. Изменением вертикальной компоненты силы сопротивления, вызванной наклоном купола парашюта, пренебречь.

Задача 110. Стартуя с поверхности Земли, реактивный снаряд массы кг движется в течение первых 10 с под действием силы тяги, направленной под углом к горизонту. Затем сила тяги отключается. Определить траекторию движения снаряда и его дальность полета. Силой сопротивления воздуха пренебречь.

Задача 111. Телу M массы m = 28 кг , принимаемому за материальную точку и находящемуся на гладкой наклонной плоскости с углом наклона к горизонту = 45° (см. рис. 19), сообщена начальная скорость v 0 = 34 м/с , направленная под углом = 30° к оси x и лежащая в плоскости ху . Ось y горизонтальна. Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с 2 . Определить закон движения тела по наклонной плоскости x (t ), y (t ).

Задача 112. Подводная лодка, не имевшая хода, получив небольшую положительную плавучесть p = 0.01mg , начинает подниматься с глубины м. При этом начавший работать двигатель обеспечивает постоянную горизонтальную силу тяги Т = 0.01mg . Вертикальной компонентой силы сопротивления можно пренебречь, а ее горизонтальную составляющую принять равной R = –0.01mV x , где – горизонтальная скорость лодки. Определить траекторию движения лодки y (x ) и расстояние, пройденное ею по горизонтали к моменту всплытия.

Задача 113. При угле бросания = 42° по отношению к горизонту снаряд имеет горизонтальную дальность полета м . Определить, чему равна начальная скорость снаряда v 0 при вылете из канала ствола орудия. Найти также горизонтальную дальность полета снаряда и время полета снаряда до цели при угле бросания = 35° и той же начальной скорости v 0 . Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с 2 . Сопротивлением воздуха пренебречь.

Задача 114. Определить угол наклона ствола орудия к горизонту, чтобы поразить цель, обнаруженную на той же горизонтальной плоскости, что и орудие, на расстоянии м . Дополнительно определить максимальную высоту траектории и время полета снаряда до цели. Начальная скорость снаряда v 0 = 600 м/с . Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с 2 . Сопротивлением воздуха пренебречь.

Задача 115. Определить зависимость горизонтальной дальности полета снаряда, максимальной высоты его траектории и времени полета от угла наклона ствола орудия к горизонту. Найти также значения этих величин для = 38°. Начальная скорость снаряда v 0 = 980 м/с . Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с 2 . Сопротивлением воздуха пренебречь.

Задача 116*. Воздушный шар массы m под действием выталкивающей силы F = 1.1mg начинает подъем. Горизонтальная компонента силы сопротивления воздуха пропорциональна квадрату горизонтальной компоненты скорости шара относительно воздуха: R x = –0.1mV , где – его горизонтальная относительная скорость. Вертикальной компонентой силы сопротивления воздуха пренебречь. Определить закон движения шара x (t ), y (t ), если дует горизонтальный ветер со скоростью м/с.

Задача 117*. Тело M массы m = 8 кг k = 20 c O 1 (–a ,0) и O 2 (a ,0),a = 24 м . Движение начинается в точке A 0 (–2a ,0) со скоростью, v у 0 = 18 м/с . Определить закон движения x (t ), y (t ) и траекторию y (x ) точки M Ox , и вычислить ее координаты в эти моменты времени. Силой тяжести пренебречь.

Задача 118*. Тело M массы m = 2 кг находится под действием двух сил притяжения, k = 120 c –1 , направленных к двум неподвижным центрам O 1 (–a ,0) и O 2 (a ,0),а = 12 м . Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с 2 . Движение начинается в точке A 0 (2a ,0) со скоростью, v у 0 = 12 м/с . Ось Ox горизонтальна, а ось Oy направлена по вертикали вверх. Определить закон движения x (t ), y (t ) и траекторию y (x ) точки M . Найти моменты времени, когда она пересекает ось Ox , и вычислить ее координаты в эти моменты времени.

Задача 119*. Материальная точка M F = 0.1mg , силы сопротивления R = –0.1mV ,где V – скорость точки, и вертикальной подъемной силы Q = 2m v x , где – горизонтальная скорость точки. Получить закон движения точки вдоль вертикальной оси, если в начальный момент времени ее положение совпадало с началом системы координат, а ее начальная скорость горизонтальна и равна м/с .

Задача 120*. Тело массы на высоте м над поверхностью Земли имело скорость м/с , направленную вертикально вниз. Затем оно попадает в воздушный поток, который движется горизонтально с постоянной скоростью м/с . В результате на него действует сила где V r – скорость тела относительно потока. Определить величину горизонтального отклонения тела от первоначального направления его движения в момент падения на Землю.

Задача 121*. Парашютист массы, совершая затяжной прыжок, падает на Землю в спокойном воздухе вертикально с установившейся постоянной скоростью м/с . На некоторой высоте от поверхности Земли он попадает в воздушный поток, который движется горизонтально с постоянной скоростью u 0 = 0.5 м/с ,и в это же время открывает парашют. Горизонтальная компонента силы, действующая на парашютиста в воздушном потоке, R x = –0.01mV rx , где – горизонтальная скорость тела относительно потока воздуха. Вертикальная компонента силы сопротивления, действующая на парашютиста, R y = –0.1mV , где – его вертикальная скорость. Определить закон движения парашютиста x (t ), y (t ) после раскрытия парашюта.

Задача 122*. Материальная точка M массы движется в вертикальной плоскости под действием силы тяжести, постоянной горизонтальной силы тяги F = 0.2mg , силы сопротивления R = –0.1mV , где V – скорость точки, и вертикальной подъемной силы, где – горизонтальная скорость точки. Получить закон движения точки в направлении горизонтальной оси, если в начальный момент времени ее положение совпадало с началом системы координат, а ее начальная скорость горизонтальна и равна м/с .

Задача 123*. Парашютист массы с раскрытым парашютом падает вертикально с установившейся постоянной скоростью м/с . На высоте м над поверхностью Земли он попадает в воздушный поток, который движется горизонтально с постоянной скоростью м/с . Определить величину горизонтального отклонения парашютиста от первоначального направления его движения в момент приземления и закон его движения x (t ), y (t ). Горизонтальная компонента силы сопротивления, действующая на парашютиста в воздушном потоке, R х = –0.01mV x , где – горизонтальная скорость парашютистаотносительно потока воздуха.

Пример 13. Научно-исследовательская подводная лодка шарообразной формы и массы m = = 1.5×10 5 кг начинает погружаться с выключенными двигателями, имея горизонтальную скорость v х 0 = 30 м/с и отрицательную плавучесть Р 1 = 0.01mg , где – векторная сумма архимедовой выталкивающей силы Q и силы тяжести mg , действующих на лодку (рис. 20). Сила сопротивления воды, кг/с . Определить уравнения движения лодки и ее траекторию.

Рис.20

Решение. Начало координат выберем в начальном положении лодки, ось Ox направим горизонтально, а ось Oy – вертикально вниз (см. рис. 20). На лодку действуют три силы: P=mg – вес лодки, Q – архимедова выталкивающая сила, причем, и сила сопротивления R . Лодку примем за материальную точку M . Тогда второй закон Ньютона запишется так: . В проекциях на оси Ox и Oy он будет иметь вид: , . Перепишем эти уравнения в форме системы уравнений первого порядка

Интегрируя их методом разделения переменных, получаем

После интегрирования и подстановки численных значений параметров и начальных данных находим

Закон движения находим из решения дифференциальных уравнений

Он описывается соотношениями

В заключение найдем траекторию y (x ). Для этого из первого уравнения выразим время t через координату х

Подставляя это выражение во второе уравнение, находим

Вам хорошо известно, что в зависимости от формы траектории движение делится на прямолинейное и криволинейное . С прямолинейным движением мы научились работать на предыдущих уроках, а именно решать главную задачу механики для такого вида движения.

Однако ясно, что в реальном мире мы чаще всего имеем дело с криволинейным движением, когда траектория представляет собой кривую линию. Примерами такого движения является траектория тела, брошенного под углом к горизонту, движение Земли вокруг Солнца и даже траектория движения ваших глаз, следящих сейчас за этим конспектом.

Вопросу о том, как решается главная задача механики в случае криволинейного движения, и будет посвящен этот урок.

Для начала определимся, какие принципиальные отличия есть у криволинейного движения (рис. 1) относительно прямолинейного и к чему эти отличия приводят.

Рис. 1. Траектория криволинейного движения

Поговорим о том, как удобно описывать движение тела при криволинейном движении.

Можно разбить движение на отдельные участки, на каждом из которых движение можно считать прямолинейным (рис. 2).

Рис. 2. Разбиение криволинейного движения на участки прямолинейного движения

Однако более удобным является следующий подход. Мы представим это движение как совокупность нескольких движений по дугам окружностей (рис. 3). Обратите внимание, что таких разбиений меньше, чем в предыдущем случае, кроме того, движение по окружности является криволинейным. К тому же примеры движения по окружности в природе встречается очень часто. Из этого можно сделать вывод:

Для того чтобы описывать криволинейное движение, нужно научиться описывать движение по окружности, а потом произвольное движение представлять в виде совокупностей движений по дугам окружностей.

Рис. 3. Разбиение криволинейного движения на движения по дугам окружностей

Итак, начнем изучение криволинейного движения с изучения равномерного движения по окружности. Давайте разберемся, каковы принципиальные отличия криволинейного движения от прямолинейного. Для начала вспомним, что в девятом классе мы изучили тот факт, что скорость тела при движении по окружности направлена по касательной к траектории (рис. 4). Кстати, этот факт вы можете пронаблюдать на опыте, если посмотрите, как движутся искры при использовании точильного камня.

Рассмотрим движение тела по дуге окружности (рис. 5).

Рис. 5. Скорость тела при движении по окружности

Обратите внимание, что в данном случае модуль скорости тела в точке равен модулю скорости тела в точке :

Однако вектор не равен вектору . Итак, у нас появляется вектор разности скоростей (рис. 6):

Рис. 6. Вектор разности скоростей

Причем изменение скорости произошло через некоторое время . Таким образом, мы получаем знакомую комбинацию:

Это не что иное, как изменение скорости за промежуток времени, или ускорение тела. Можно сделать очень важный вывод:

Движение по криволинейной траектории является ускоренным. Природа этого ускорения – непрерывное изменение направление вектора скорости.

Еще раз отметим, что, даже если говорится, что тело равномерно движется по окружности, имеется в виду, что модуль скорости тела не изменяется. Однако такое движение всегда является ускоренным, поскольку изменяется направление скорости.

В девятом классе вы изучали, чему равно такое ускорение и как оно направлено (рис. 7). Центростремительное ускорение всегда направлено к центру окружности, по которой движется тело.

Рис. 7. Центростремительное ускорение

Модуль центростремительного ускорения может быть рассчитан по формуле:

Переходим к описанию равномерного движения тела по окружности. Договоримся, что скорость , которой вы пользовались по время описания поступательного движения, теперь будет называться линейной скоростью. И под линейной скоростью мы будем понимать мгновенную скорость в точке траектории вращающегося тела.

Рис. 8. Движение точек диска

Рассмотрим диск, который для определенности вращается по часовой стрелке. На его радиусе отметим две точки и (рис. 8). Рассмотрим их движение. За некоторое время эти точки переместятся по дугам окружности и станут точками и . Очевидно, что точка совершила большее перемещение, чем точка . Из этого можно сделать вывод, что чем дальше от оси вращения находится точка, тем с большей линейной скоростью она движется

Однако если внимательно посмотреть на точки и , можно сказать, что неизменным остался угол , на который они повернулись относительно оси вращения . Именно угловые характеристики мы и будем использовать для описания движения по окружности. Отметим, что для описания движения по окружности можно использовать угловые характеристики.

Начнем рассмотрение движения по окружности с самого простого случая – равномерного движения по окружности. Напомним, что равномерным поступательным движением называется движение, при котором за любые равные промежутки времени тело совершает одинаковые перемещения. По аналогии можно дать определение равномерного движения по окружности.

Равномерным движением по окружности называется движение, при котором за любые равные промежутки времени тело поворачивается на одинаковые углы.

Аналогично понятию линейной скорости вводится понятие угловой скорости.

Угловой скоростью равномерного движения ( называется физическая величина, равная отношению угла, на который повернулось тело, ко времени, за которое произошел этот поворот.

В физике чаще всего используется радианная мера угла. Например, угол в равен радиан. Измеряется угловая скорость в радианах в секунду:

Найдем связь между угловой скоростью вращения точки и линейной скоростью этой точки.

Рис. 9. Связь между угловой и линейной скоростью

Точка проходит при вращении дугу длиной , поворачиваясь при этом на угол . Из определения радианной меры угла можно записать:

Разделим левую и правую части равенства на промежуток времени , за который было совершено перемещение, затем воспользуемся определением угловой и линейной скоростей:

Обратим внимание, что чем дальше точка находится от оси вращения, тем выше ее линейная скорость. А точки, расположенные на самой оси вращения, неподвижны. Примером этого может служить карусель: чем ближе вы находитесь к центру карусели, тем легче вам на ней удержаться.

Такая зависимость линейной и угловой скоростей используется в геостационарных спутниках (спутники, которые всегда находятся над одной и той же точкой земной поверхности). Благодаря таким спутникам мы имеем возможность получать телевизионные сигналы.

Вспомним, что ранее мы вводили понятия периода и частоты вращения.

Период вращения – время одного полного оборота. Период вращения обозначается буквой и измеряется в секундах в СИ:

Частота вращения – физическая величина, равная количеству оборотов, которое тело совершает за единицу времени.

Частота обозначается буквой и измеряется в обратных секундах:

Они связаны соотношением:

Существует связь между угловой скоростью и частотой вращения тела. Если вспомнить, что полный оборот равен , легко увидеть, что угловая скорость:

Подставляя эти выражения в зависимость между угловой и линейной скоростью, можно получить зависимость линейной скорости от периода или частоты:

Запишем также связь между центростремительным ускорением и этими величинами:

Таким образом, мы знаем связь между всеми характеристиками равномерного движения по окружности.

Подытожим. На этом уроке мы начали описывать криволинейное движение. Мы поняли, каким образом можно связать криволинейное движение с движением по окружности. Движение по окружности всегда является ускоренным, а наличие ускорения обуславливает тот факт, что скорость всегда меняет свое направление. Такое ускорение называется центростремительным. Наконец, мы вспомнили некоторые характеристики движения по окружности (линейную скорость, угловую скорость, период и частоту вращения) и нашли соотношения между ними.

Список литературы

Г.Я. Мякишев, Б.Б. Буховцев, Н.Н. Сотский. Физика 10. - М.: Просвещение, 2008.
А.П. Рымкевич. Физика. Задачник 10-11. - М.: Дрофа, 2006.
О.Я. Савченко. Задачи по физике. - М.: Наука, 1988.
А.В. Перышкин, В.В. Крауклис. Курс физики. Т. 1. - М.: Гос. уч.-пед. изд. мин. просвещения РСФСР, 1957.

Аyp.ru ().
Википедия ().

Домашнее задание

Решив задачи к данному уроку, вы сможете подготовиться к вопросам 1 ГИА и вопросам А1, А2 ЕГЭ.

Задачи 92, 94, 98, 106, 110 - сб. задач А.П. Рымкевич, изд. 10
Вычислите угловую скорость движения минутной, секундной и часовой стрелок часов. Вычислите центростремительное ускорение, действующее на кончики этих стрелок, если радиус каждой из них равен одному метру.

Задача 114. Ведерко с водой, привязанное к веревке длиной 60 см, равномерно вращается в вертикальной плоскости. Найти: 1) наименьшую скорость вращения ведерка, при которой в высшей точке вода из него не выливается, 2) натяжение веревки при этой скорости в высшей и низшей точках окружности. Масса ведерка с водой 2 кг.

Задача 115. Камень, привязанный к веревке, равномерно вращается в вертикальной плоскости. Найти массу камня, если известно, что разность между максимальным и минимальным натяжениями веревки равна 9,8 Н.

Задача 116. Гирька массой 50 г, привязанная к нити длиною в 25 см, описывает в горизонтальной плоскости окружность. Скорость вращения гирьки соответствует 2 об/с. Найти натяжение нити.

Задача 117. Диск вращается вокруг вертикальной оси, делая 30 об/мин. На расстоянии 20 см от оси вращения на диске лежит тело. Каков должен быть коэффициент трения между телом и диском, чтобы тело не скатилось с диска?

Задача 118. Определить скорость движения автомобиля массой 2 т по вогнутому мосту радиусом 100 м, если он давит на середину моста с силой 25 кН.

Задача 119. Самолет, летящий со скоростью 900 км/ч, делает “мертвую петлю”. Каков должен быть радиус “мертвой петли”, чтобы наибольшая сила, прижимающая летчика к сидению, была равна: пятикратному весу летчика? 2) десятикратному весу летчика?

Задача 120.

Задача 121. Найти силу тяготения, действующую со стороны Земли на тело массой 1 кг, находящееся на поверхности Луны. Расстояние между центрами Земли и Луны принять равными 384 000 км.

Задача 122. Спутник делает 16 оборотов за время одного оборота Земли. Определить период, высоту и скорость спутника, считая его орбиту круговой.

Задача 123. Трамвайный вагон массой 5 тонн идет по закруглению радиусом 128 м. Найти силу бокового давления колес на рельсы при скорости движения 9 км/ч.

Задача 124. Гирька, привязанная к нити длиною 30 см, описывает в горизонтальной плоскости окружность радиусом 15 см. Какому числу оборотов в минуту соответствует скорость вращения гирьки? (59 об/мин)

Задача 125. Шарик на веревке длиной 50 см равномерно вращается в вертикальной плоскости. Найти, при какой частоте вращения веревка оборвется, если предел прочности веревки mg, где m - масса шарика.

Задача 126. Мотоциклист едет по горизонтальной дороге со скоростью 72 км/ч, делая поворот радиусом кривизны в 100 м. Насколько при этом он должен накрениться, чтобы не упасть при повороте?

Задача 127. Шоссе имеет вираж с уклоном в 10° при радиусе закругления дороги в 100 м. На какую скорость рассчитан вираж?

Задача 128. Средняя высота спутника над поверхностью Земли 1700 км. Определить его скорость и период вращения.

Задача 129. С увеличением высоты полета спутника его скорость уменьшилась с 7,79 до 7,36 км/с. Определить, на сколько изменились период вращения спутника и удаленность его от земной поверхности.

Задача 130. Определить период вращения искусственного спутника вблизи планеты, которую можно принять за однородный шар плотностью ρ.

Задача 131. Спутник вывели на круговую орбиту со скорость v над полюсом Земли. Найти расстояние от спутника до поверхности Земли.

Задача 132. Найти массу Земли, если спутник, движущийся в ее экваториальной плоскости с запада на восток по круговой орбите радиуса R=2∙10 4 км, появляется над некоторым пунктом на экваторе через каждые τ=11,6 ч.

Задача 133. Подводная лодка, не имевшая хода, получив небольшую плавучесть р = 0.01mg м. Т = 0.01mg . Силу сопротивления принять пропорциональной первой степени скорости V и равной R = –0.1mV .Определить траекторию лодки и расстояние, пройденное ею по горизонтали к моменту всплытия.

Задача 134. Определить закон движения x (t ), y (t ) тяжелой материальной точки M массы m = 5 кг O силой, прямо пропорциональной расстоянию до него. Движение происходит в пустоте, сила притяжения F=-k 2 mOM, k = 20 с –1 g = 9.8 м/с , v x 0 = 200 м/с , . Ось Ox горизонтальна, а ось Oy

Задача 135. Подводная лодка, не имевшая хода, находилась в надводном положении на расстоянии H=100 м от дна. Получив отрицательную плавучесть р = 0.1mg , она начинает уходить от преследования на очень тихом ходу, который обеспечивается малой постоянной горизонтальной силой тяги двигателя T = 0.001mg . Горизонтальной компонентой силы сопротивления можно пренебречь, а ее вертикальную составляющую принять равной R = –0.05mg , гдеV y – вертикальная скорость погружения лодки. Определить закон движения лодки и расстояние, пройденное ею по горизонтали к моменту, когда она ляжет на дно.

Задача 136. Точка M массы m = 5 кг O k = 20 c –1 , r – радиус-вектор точки. В начальный момент точка M имела координаты M 0 (a ,0), a = 24 м , и скорость v 0 с проекциями v x 0 = 0, v y 0 = 4 м/с . Определить закон движения и траекторию точки M

Задача 137. р = 0.001mg , начинает подниматься с глубины H=150 м. При этом начавший работать двигатель обеспечивает постоянную горизонтальную силу тяги T=mg. Вертикальной компонентой силы сопротивления можно пренебречь, а ее горизонтальную составляющую принять равной , гдеV x – горизонтальная скорость лодки. Определить траекторию движения лодки и расстояние, пройденное ею по горизонтали к моменту всплытия.

Задача 138. Подводная лодка, двигавшаяся в надводном положении c малой скоростью U 0 = 0.5 м/с р = 0.5mg , начала срочное погружение с выключенными двигателями. Горизонтальной компонентой силы сопротивления можно пренебречь, а ее вертикальную составляющую принять равной R = –0.05mg , гдеV y – вертикальная скорость погружения лодки. Определить закон движения лодки и расстояние, пройденное ею по горизонтали к моменту, когда она погрузится на глубину H=150 м.

Задача 139. Телу M массы m = 8 кг , принимаемому за материальную точку и находящемуся на гладкой наклонной плоскости с углом наклона к горизонту = 30° (рис. 39), сообщена начальная скорость v 0 = 18 м/с , направленная под углом = 45° к оси x и лежащая в плоскости ху . Ось y g = 9.8 м/с x (t ), y (t ).

Рис.39

Задача 140. Подводная лодка, двигавшаяся в надводном положении со скоростью U 0 = 0.5 м/с , получив отрицательную плавучесть р = 0.1mg , начала погружение с выключенными двигателями. Силу сопротивления принять пропорциональной первой степени скорости V и равной R=-0,05mV.Определить траекторию движения лодки и расстояние, пройденное ею по горизонтали к моменту, когда она погрузится на глубину H=150 м.

Задача 141. Наибольшая горизонтальная дальность полета снаряда м достигается при угле бросания по отношению к горизонту. Определить, чему равны начальная скорость снаряда v 0 и . Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с Начальная скорость снаряда v 0 при вылете из канала ствола орудия фиксирована.

Задача 142. Береговое орудие, расположенное на высоте H=150 м над уровнем моря, стреляет снарядами, имеющими при вылете из ствола скорость U 0 = 1500 м/с . Определить дальность поражения цели при горизонтальном выстреле и закон движения снаряда x (t ), y (t ), если вертикальной компонентой силы сопротивления можно пренебречь, а ее горизонтальную составляющую принять равной , гдеV x – горизонтальная скорость снаряда.

Задача 143. Определить закон движения x (t ), y (t ) материальной точки M массы m = 8 кг , притягиваемой к неподвижному центру O k = 12 c –1 . В начальный момент времени (t=0) х 0 = 18 м , , v y 0 = 6 м/с . Силой тяжести Земли пренебречь.

Задача 144. Материальная точка массы m Oxy под действием силы, направленной параллельно оси x. Модуль силы изменяется по закону F=3t 2 . Начальная скорость м/с направлена под углом к линии действия силы. Получить уравнение траектории точки y (x ).

Задача 145. Точка M массы m = 8 кг движется под действием силы отталкивания от неподвижного центра O , изменяющейся по закону F=k 2 mr, где k = 12 c –1 , r g = 9.8 м/с 2 . В начальный момент времени (t=0) х 0 = 20 м , , v y 0 = 50 м/с . Ось Ox горизонтальна, а ось Oy x (t ), y (t ) и траекторию y (x ) точки M .

Задача 146. Материальная точка массы m движется по гладкой горизонтальной плоскости Oxy под действием силы, направленной параллельно оси у (см. рис. 39). Модуль силы изменяется по закону F=4t 3 . Начальная скорость V 0 =5 м/с направлена перпендикулярно к линии действия силы. Найти закон движения x (t ), y (t ) и уравнение траектории точки y = y (x ).

Задача 147. Телу M массы m = 20 кг , принимаемому за материальную точку и находящемуся на гладкой наклонной плоскости с углом наклона к горизонту = 60° (см. рис. 39), сообщена начальная скорость v 0 = 2 м/с x и лежащая в плоскости ху . Ось y горизонтальна. Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с 2 . Определить закон движения тела по наклонной плоскости x (t ), y (t ).

Задача 148. При угле бросания = 60° по отношению к горизонту снаряд имеет горизонтальную дальность полета м . Определить, чему при этом равна начальная скорость снаряда v 0 . Найти также горизонтальную дальность и максимальную высоту траектории при угле бросания 30°. Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с

Задача 149. Определить закон движения x (t ), y (t ) тяжелой материальной точки M массы m = 6 кг , притягиваемой к неподвижному центру O силой, прямо пропорциональной расстоянию до него. Движение происходит в пустоте, сила притяжения равна F=-k 2 mOM, k = 8 c g = 9.8 м/с 2 . В начальный момент времени (t=0) х 0 = 24 м , V x 0 =0, у 0 = 40 м , V y 0 =0. Ось Ox горизонтальна, а ось Oy направлена по вертикали вверх.

Задача 150. Точка M массы m = 4 кг движется под действием силы отталкивания от неподвижного центра O , изменяющейся по закону F=k 2 mr, где k = 10 c –1 , r – радиус-вектор точки. Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с 2 . В начальный момент времени (t=0) х 0 = 2 м , v х 0 = 4 м/с , . Ось Ox горизонтальна, а ось Oy направлена по вертикали вверх. Определить закон движения x (t ), y (t ) и траекторию y (x ) точки M .

Задача 151. Парашютист массы mпадает с раскрытым парашютом на Землю в спокойном воздухе вертикально с установившейся постоянной скоростью V 0 =5 м/с . На высоте h=100 м над поверхностью Земли он, натянув стропы, приобретает горизонтальную скорость м/с . Определить величину горизонтального отклонения парашютиста от первоначального направления его движения в момент приземления и закон его движения, если при дальнейшем спуске он удерживает стропы в том же положении. Горизонтальная компонента силы сопротивления, действующая на парашютиста в воздушном потоке, R x = –0.01mV x , где V x – горизонтальная скорость парашютиста. Изменением вертикальной компоненты силы сопротивления, вызванной наклоном купола парашюта, пренебречь.

Задача 152. Стартуя с поверхности Земли, реактивный снаряд массы M=100 кг движется в течение первых 10 с под действием силы тяги F=5000 H, направленной под углом к горизонту (). Затем сила тяги отключается. Определить траекторию движения снаряда и его дальность полета. Силой сопротивления воздуха пренебречь.

Задача 153. Телу M массы m = 28 кг , принимаемому за материальную точку и находящемуся на гладкой наклонной плоскости с углом наклона к горизонту = 45° (см. рис. 39), сообщена начальная скорость v 0 = 34 м/с , направленная под углом = 30° к оси x и лежащая в плоскости ху . Ось y горизонтальна. Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с 2 . Определить закон движения тела по наклонной плоскости x (t ), y (t ).

Задача 154. Подводная лодка, не имевшая хода, получив небольшую положительную плавучесть p = 0.01mg , начинает подниматься с глубины H=100 м. При этом начавший работать двигатель обеспечивает постоянную горизонтальную силу тяги Т = 0.01mg . Вертикальной компонентой силы сопротивления можно пренебречь, а ее горизонтальную составляющую принять равной R = –0.01mV x , гдеV x – горизонтальная скорость лодки. Определить траекторию движения лодки y (x ) и расстояние, пройденное ею по горизонтали к моменту всплытия.

Задача 155. При угле бросания = 42° по отношению к горизонту снаряд имеет горизонтальную дальность полета м . Определить, чему равна начальная скорость снаряда v 0 при вылете из канала ствола орудия. Найти также горизонтальную дальность полета снаряда и время полета снаряда до цели при угле бросания = 35° и той же начальной скорости v 0 . Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с 2 . Сопротивлением воздуха пренебречь.

Задача 156. Определить угол наклона ствола орудия к горизонту, чтобы поразить цель, обнаруженную на той же горизонтальной плоскости, что и орудие, на расстоянии м . Дополнительно определить максимальную высоту траектории и время полета снаряда до цели. Начальная скорость снаряда v 0 = 600 м/с . Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с 2 . Сопротивлением воздуха пренебречь.

Задача 157. Определить зависимость горизонтальной дальности полета снаряда , максимальной высоты его траектории и времени полета от угла наклона ствола орудия к горизонту. Найти также значения этих величин для = 38°. Начальная скорость снаряда v 0 = 980 м/с . Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с 2 . Сопротивлением воздуха пренебречь.

Задача 158*. Считая Землю шарообразной, найти зависимость ускорения силы тяжести Земли от широты местности. Вычислить g на полюсе, экваторе и на широте Одессы

Задача 159*. Найти изменение ускорения силы тяжести тела на глубине h от поверхности Земли. На какой глубине ускорение силы тяжести составит 0,3 от ускорения силы тяжести на поверхности Земли? Плотность земли считать постоянной. Считать, что со стороны вышележащего слоя тело не испытывает никакого притяжения.

Задача 160*. Воздушный шар массы m под действием выталкивающей силы F = 1.1mg начинает подъем. Горизонтальная компонента силы сопротивления воздуха пропорциональна квадрату горизонтальной компоненты скорости шара относительно воздуха: R x = –0.1m , где V x – его горизонтальная относительная скорость. Вертикальной компонентой силы сопротивления воздуха пренебречь. Определить закон движения шара x (t ), y (t ), если дует горизонтальный ветер со скоростью м/с.

Задача 161*. Тело M массы m = 8 кг k = 20 c O 1 (–a ,0) и O 2 (a ,0), a = 24 м . Движение начинается в точке A 0 (–2a ,0) со скоростью V x 0 =0, v у 0 = 18 м/с . Определить закон движения x (t ), y (t ) и траекторию y (x ) точки M Ox , и вычислить ее координаты в эти моменты времени. Силой тяжести пренебречь.

Задача 162*. Тело M массы m = 2 кг находится под действием двух сил притяжения F 1 =-k 2 mO 1 M, F 2 =-k 2 mO 2 M, k = 120 c –1 , направленных к двум неподвижным центрам O 1 (–a ,0) и O 2 (a ,0), а = 12 м . Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с 2 . Движение начинается в точке A 0 (2a ,0) со скоростью V x 0 =0, v у 0 = 12 м/с . Ось Ox горизонтальна, а ось Oy направлена по вертикали вверх. Определить закон движения x (t ), y (t ) и траекторию y (x ) точки M . Найти моменты времени, когда она пересекает ось Ox , и вычислить ее координаты в эти моменты времени.

Задача 163*. Материальная точка M F = 0.1mg , силы сопротивления R = –0.1mV ,где V – скорость точки, и вертикальной подъемной силы Q = 2m v x , где V x – горизонтальная скорость точки. Получить закон движения точки вдоль вертикальной оси y, если в начальный момент времени (t=0) ее положение совпадало с началом системы координат, а ее начальная скорость горизонтальна и равна V 0 =5 м/с .

Задача 164*. Тело массы m на высоте H=500 м над поверхностью Земли имело скорость V 0 =7 м/с , направленную вертикально вниз. Затем оно попадает в воздушный поток, который движется горизонтально с постоянной скоростью м/с . В результате на него действует сила где V r – скорость тела относительно потока. Определить величину горизонтального отклонения тела от первоначального направления его движения в момент падения на Землю.

Задача 165*. Парашютист массы m, совершая затяжной прыжок, падает на Землю в спокойном воздухе вертикально с установившейся постоянной скоростью V 0 =40 м/с . На некоторой высоте от поверхности Земли он попадает в воздушный поток, который движется горизонтально с постоянной скоростью u 0 = 0.5 м/с ,и в это же время открывает парашют. Горизонтальная компонента силы, действующая на парашютиста в воздушном потоке, R x = –0.01mV rx , где V rx – горизонтальная скорость тела относительно потока воздуха. Вертикальная компонента силы сопротивления, действующая на парашютиста, R y = –0.1m , где V y – его вертикальная скорость. Определить закон движения парашютиста x (t ), y (t ) после раскрытия парашюта.

Задача 166*. Материальная точка M массы m движется в вертикальной плоскости под действием силы тяжести, постоянной горизонтальной силы тяги F = 0.2mg , силы сопротивления R = –0.1mV , где V – скорость точки, и вертикальной подъемной силы Q=2mV x , где V x – горизонтальная скорость точки. Получить закон движения точки в направлении горизонтальной оси x, если в начальный момент времени (t=0) ее положение совпадало с началом системы координат, а ее начальная скорость горизонтальна и равна V 0 =5 м/с .

Задача 167*. Парашютист массы m с раскрытым парашютом падает вертикально с установившейся постоянной скоростью V 0 =5 м/с . На высоте h=100 м над поверхностью Земли он попадает в воздушный поток, который движется горизонтально с постоянной скоростью м/с . Определить величину горизонтального отклонения парашютиста от первоначального направления его движения в момент приземления и закон его движения x (t ), y (t ). Горизонтальная компонента силы сопротивления, действующая на парашютиста в воздушном потоке, R х = –0.01mV x , где V x – горизонтальная скорость парашютиста относительно потока воздуха.

Похожая информация.